مزدوجة متكاملة. المهام. خصائص

المشاكل التي تؤدي إلى مفهوم "مزدوجة متكاملة".

1. اسمحوا لوحة المواد الطائرة تعطى في الطائرة، في كل نقطة منها يعرف الكثافة. نحن بحاجة إلى العثور على كتلة من هذه اللوحة. بما أن هذه اللوحة لها أبعاد واضحة، يمكن أن تكون محاطة في مستطيل. ويمكن أيضا فهم كثافة اللوحة: في تلك النقاط من المستطيل التي لا تنتمي إلى لوحة، وسوف نفترض أن الكثافة هي صفر. نحن نعرف تقسيم موحد إلى عدد متساو من الجسيمات. وهكذا، سيتم تقسيم شكل معين إلى مستطيلات الأولية. النظر في واحدة من هذه المستطيلات. نختار أي نقطة من هذا المستطيل. وبسبب صغر حجم مثل هذا المستطيل، سوف نفترض أن الكثافة عند كل نقطة من المستطيل المعطى هي قيمة ثابتة. ثم يتم تعريف كتلة هذه الجسيمات المستطيلة على أنها ضرب الكثافة عند هذه النقطة بواسطة منطقة المستطيل. المنطقة، كما تعلمون، هو ضرب طول المستطيل من قبل العرض. وعلى مستوى تنسيق - هذا التغيير مع بعض الخطوة. ثم كتلة كتلة كاملة ستكون مجموع الجماهير من هذه المستطيلات. إذا ذهبنا إلى الحدود في مثل هذه العلاقة، ثم يمكننا الحصول على علاقة دقيقة.
2. نحن نعرف الجسم المكاني، الذي يحده المنشأ وبعض وظيفة. فمن الضروري العثور على حجم هذه الهيئة. وكما في الحالة السابقة، فإننا نقسم المنطقة إلى مستطيلات. سوف نفترض أنه في النقاط التي لا تنتمي إلى المجال، فإن وظيفة تكون 0. النظر في واحدة من التحلل مستطيلة. من خلال جانبي هذا المستطيل نرسم الطائرات التي تكون عموديا على المحاور الخراجية والمنسقة. نحصل على متوازي، التي تحدها من أسفل من قبل الطائرة نسبة إلى محور قضيب، ومن فوق من قبل وظيفة التي تم تحديدها في حالة المشكلة. نختار نقطة في منتصف المستطيل. بسبب صغر حجم هذا المستطيل، يمكننا أن نفترض أن الدالة ضمن هذا المستطيل قيمة ثابتة، ثم يمكنك حساب حجم المستطيل. وسوف يكون حجم هذا الرقم مساويا لمجموع جميع أحجام هذه المستطيلات. للحصول على القيمة الدقيقة، تحتاج إلى الذهاب إلى الحدود.

وكما يتضح من المشاكل المطروحة، نجد في كل مثال أن المشاكل المختلفة تؤدي إلى النظر في مبالغ مزدوجة من نفس النوع.

خصائص التكامل المزدوج.

دعونا نضع المشكلة. لنفترض أنه في منطقة مغلقة معينة يتم إعطاء دالة لمتغيرين، والتي هي وظيفة معينة مستمرة. بما أن المنطقة محدودة، يمكنك وضعها في أي مستطيل يحتوي تماما على خصائص نقطة المنطقة المعينة. نحن تقسيم المستطيل إلى أجزاء متساوية. نحن نسمي قطر كسر أكبر قطري من المستطيلات الناتجة. الآن نختار نقطة في حدود مستطيل واحد من هذا القبيل. إذا وجدنا قيمة في هذه المرحلة لإضافة ما يصل المبلغ، ثم سوف يسمى هذا المبلغ لا يتجزأ من وظيفة في مجال معين. نجد حدود هذا المبلغ المتكامل في ظل الظروف التي يليها قطر الانهيار إلى 0، وعدد المستطيلات إلى ما لا نهاية. إذا كان مثل هذا الحد موجود ولا يعتمد على كيفية تقسيم المنطقة إلى مستطيلات ومن اختيار نقطة، فإنه يسمى التكامل المزدوج.

المحتوى الهندسي للتكامل المزدوج: التكامل المزدوج هو عدديا مساويا لحجم الجسم، الذي تم وصفه في المشكلة 2.

معرفة التكامل المزدوج (تعريف)، يمكنك تعيين الخصائص التالية:

1. يمكن أن تؤخذ ثابتة خارج علامة متكاملة.
2. تكامل مجموع (الفرق) يساوي مجموع (الفرق) من تكاملات.
3. من وظائف أقل هو واحد الذي لا يتجزأ مزدوجة أصغر.
4. يمكن إدخال وحدة تحت علامة متكاملة مزدوجة.