الخطية ومتجانسة المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى. أمثلة من الحلول

أعتقد أننا يجب أن تبدأ مع تاريخ أداة الرياضية المجيدة المعادلات التفاضلية. مثل كل التفاضل والتكامل، اخترعت هذه المعادلات التي كتبها نيوتن في أواخر القرن ال17. وأعرب عن اعتقاده أنه كان اكتشافه المهم جدا أن حتى الرسالة المشفرة، التي أصبحت اليوم يمكن ترجمتها على النحو التالي: "كل قوانين الطبيعة التي وصفها المعادلات التفاضلية". قد يبدو مبالغة، ولكنه صحيح. أي قانون الفيزياء، والكيمياء، والبيولوجيا، ويمكن وصف هذه المعادلات.

إسهاما كبيرا في تطوير وإنشاء نظرية المعادلات التفاضلية لها الرياضيات يولر ولاغرانج. بالفعل في القرن ال18 اكتشفوا وضعت ما يدرس الآن في المستويات العليا المناهج الجامعية.

وبدأ مرحلة جديدة في دراسة المعادلات التفاضلية بفضل أنري Puankare. انشأ "نظرية النوعية من المعادلات التفاضلية"، والتي، جنبا إلى جنب مع نظرية الوظائف من المتغيرات المعقدة ساهمت بشكل كبير في تأسيس طوبولوجيا - علم الفضاء وخصائصه.

ما هي المعادلات التفاضلية؟

كثير من الناس يخافون من عبارة "المعادلة التفاضلية". ومع ذلك، في هذه المقالة سوف نقوم المبينة بالتفصيل جوهر هذه الأداة الرياضية مفيدة جدا الذي هو في الواقع ليست معقدة كما يبدو من العنوان. من أجل البدء في الحديث عن من الدرجة الأولى المعادلة التفاضلية، يجب أولا التعرف على المفاهيم الأساسية التي ترتبط ارتباطا جوهريا مع هذا التعريف. وسنبدأ مع الفرق.

الفارق

يعرف كثير من الناس هذا المصطلح منذ المدرسة الثانوية. ومع ذلك، لا يزال يسكن على ذلك بالتفصيل. تخيل الرسم البياني للدالة. نحن يمكن أن تزيد إلى حد أن أي من فئتها يصبح خط مستقيم. وسوف يستغرق نقطتين التي هي قريبة بلا حدود إلى بعضها البعض. الفرق بين الإحداثيات (X أو Y) هو متناهية الصغر. ويطلق عليه التفاضلية والشخصيات تعيين دى (التفاضل ذ) و DX (الفرق من س). من المهم أن نفهم أن الفرق ليست هي القيمة المطلقة، وهذا هو المعنى والوظيفة الرئيسية.

والآن يجب مراعاة العناصر التالية، ونحن سوف تحتاج إلى شرح مفهوم المعادلة التفاضلية. ذلك - مشتق.

مشتق

يجب علينا جميعا أن سمعت في المدرسة وهذه الفكرة. يقولون أن مشتق - هو معدل النمو أو نقصان وظيفة. ومع ذلك، فإن هذا التعريف يصبح أكثر مربكة. دعونا نحاول شرح المصطلحات المشتقة من فروق. دعونا نعود إلى وظيفة الفاصلة متناهية الصغر برصيد نقطتين، والتي تقع على مسافة لا تقل عن بعضها البعض. ولكن حتى بعد هذه الوظيفة بعد حان الوقت لتغيير بعض القيمة. ووصف هذا التغيير والخروج مع مشتق التي لولاها أن يكتب نسبة فروق: و (خ) '= مدافع / DX.

الآن لا بد من النظر في الخصائص الأساسية للمشتقات. لا يوجد سوى ثلاثة:

1. المبلغ مشتق أو الفرق يمكن أن تكون ممثلة كمجموع أو الفرق من المشتقات: (أ + ب) '= أ' + ب، و (أ ب) '= a'-ب.
2. يتم توصيل الخاصية الثانية مع الضرب. أعمال مشتقة - هي مجموع أعمال وظيفة واحدة لمشتقات أخرى: (أ * ب) '= A' * ب + أ ب *.
3. مشتق من الفرق كما يمكن كتابة المعادلة التالية: (أ / ب) '= (أ' * * با ب ') / ب ^2.

كل هذه الميزات تأتي في متناول اليدين لإيجاد حلول للمعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى.

أيضا، هناك المشتقات الجزئية. لنفترض أن لدينا وظيفة من ض، الذي يعتمد على المتغيرات x و y. لحساب مشتق جزئي لهذه الوظيفة، على سبيل المثال، في العاشر، ونحن بحاجة إلى اتخاذ ذ متغير ثابت وسهلة للتمييز.

التكامل

آخر مفهوم هام - لا يتجزأ. في واقع الأمر هو على العكس من المشتقات. التكاملات هي عدة أنواع، ولكن أبسط الحلول للمعادلات التفاضلية، ونحن بحاجة لأتفه التكاملات إلى أجل غير مسمى.

لذلك، ما هو تكامل؟ دعنا نقول أن لدينا بعض العلاقات و من س. نحن نأخذ منه لا يتجزأ، والحصول على وظيفة F (خ) (وغالبا ما يشار إلى البدائية)، وهو مشتق من وظيفة الأصلي. لذلك F (خ) '= و (خ). وهذا يعني أيضا أن جزءا لا يتجزأ من مشتقات يساوي وظيفة الأصلي.

في حل المعادلات التفاضلية من المهم جدا أن نفهم معنى وظيفة لا يتجزأ، لأن في كثير من الأحيان يكون لنقلهم الى إيجاد حلول لها.

معادلات مختلفة اعتمادا على طبيعتها. في المقطع التالي سنلقي نظرة على أنواع من المعادلات تفاضلية الأولى، ومن ثم تعلم كيفية حلها.

دروس المعادلات التفاضلية

"Diffury" مقسوما على ترتيب المشتقات المشاركين فيها. وبالتالي هناك من الدرجة الأولى والثانية والثالثة أو أكثر. كما يمكن تقسيمها إلى عدة فئات: العادية والجزئية.

في هذه المقالة، وسوف ننظر المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى. أمثلة وحلول نناقش في الأقسام التالية. نحن ننظر فقط إلى TAC لأنها هي الأنواع الأكثر شيوعا من المعادلات. تنقسم العادي الى السلالة: مع المتغيرات انفصال، متجانسة وغير متجانسة. التالي سوف تتعلم كيف أنها تختلف عن بعضها البعض، وتعلم كيفية حلها.

وبالإضافة إلى ذلك، هذه المعادلات يمكن الجمع، حتى بعد أن نحصل على نظام المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. مثل هذه الأنظمة، ونحن ننظر أيضا في وتعلم كيفية حلها.

لماذا نحن نفكر فقط في الدرجة الأولى؟ لأنه من الضروري أن تبدأ مع بسيطة ووصف كل المرتبطة المعادلات التفاضلية، في مادة واحدة فإنه من المستحيل.

معادلات مع متغيرات انفصال

ولعل هذا هو أول معادلات تفاضلية أبسط. هذه هي الأمثلة التي يمكن كتابتها على النحو التالي: ذ '= و (خ) * و (ذ). لحل هذه المعادلة فإننا نحتاج إلى صيغة تمثيل مشتق كنسبة من فروق: ذ '= دى / DX. مع ذلك نحصل على المعادلة: DY / DX = و (خ) * و (ذ). الآن يمكن أن ننتقل إلى أسلوب حل الأمثلة القياسية: فصل المتغيرات في أجزاء، أي سريع إلى الأمام جميع المتغير y في الجزء حيث هناك دى، وأيضا جعل x متغير ... نحصل على معادلة النموذج: دى / و (ذ) = و (خ) DX، الذي يتحقق من خلال أخذ التكاملات من جزأين. لا ننسى ثابت الذي تريد وضع بعد الاندماج.

حل أي "diffura" - هي وظيفة x عن طريق ص (في حالتنا)، أو إذا كان هناك شرط العددية، فإن الجواب هو رقم. دعونا نبحث مثالا ملموسا كامل من القرار:

ذ '= 2Y * الخطيئة (خ)

نقل المتغيرات في اتجاهات مختلفة:

دى / ص = 2 * الخطيئة (خ) DX

الآن اتخاذ التكاملات. كل واحد منهم يمكن أن تكون موجودة في جدول خاص من التكامل. ونحصل على:

قانون الجنسية (ذ) = -2 * جتا (س) + C

إذا لزم الأمر، ونحن لا نستطيع التعبير عن "ذ" بوصفها وظيفة من "X". الآن نستطيع أن نقول أن لدينا المعادلة التفاضلية يتم حلها، إذا لم يتم تحديد الشرط. يمكن تحديد حالة، على سبيل المثال، ذ (ن / 2) = ه. ثم سنقوم ببساطة استبدال قيمة هذه المتغيرات في القرار والعثور على قيمة ثابتة. في مثالنا، هو 1.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى متجانسة

الآن إلى أجزاء أكثر تعقيدا. معادلات تفاضلية متجانسة الأولى يمكن أن تكون مكتوبة في شكل عام على النحو التالي: ذ '= ض (س، ص). وتجدر الإشارة إلى أن وظيفة الصحيحة اثنين من المتغيرات هي موحدة، وأنه لا يمكن أن تقسم إلى قسمين حسب: ض س و ض ذ. تحقق ما إذا كانت المعادلة هي متجانسة أم لا، هو بسيط جدا: يمكننا أن نجعل من استبدال س = ك * س و ص = ك * ذ. الآن نقطع كل ك. إذا يتم إسقاط هذه الرسائل، ثم المعادلة متجانسة ويمكن المضي قدما بسلام إلى حلها. واستشرافا للمستقبل، ونحن نقول: مبدأ حل من هذه الأمثلة هو أيضا في غاية البساطة.

نحن بحاجة للتأكد استبدال: = ذ ر (خ) * x، حيث ر - وظيفة هذا يعتمد أيضا على الأشعة. وبعد ذلك يمكننا التعبير مشتق: ذ '= ر' (خ) * س + ر. استبدال كل هذا في لدينا المعادلة الأصلية وتبسيطه، لدينا مثال على الفصل بين المتغيرات ر كما السينية. حلها والحصول على الاعتماد من ر (خ). عندما وصلنا إلى ذلك، ببساطة استبدال رسائلنا السابقة استبدال ص = ر (خ) * س. ثم نحصل على الاعتماد ذ على الأشعة.

لجعلها أكثر وضوحا، ونحن نفهم مثال: س * ص '= YX * ه ص / س.

عند التحقق من استبدال جميع الانخفاض. لذا، فإن المعادلة متجانسة حقا. الآن تأكد استبدال آخر، تحدثنا عن: ص = ر (خ) * x و y '= ر' (خ) * س + ر (خ). بعد تبسيط المعادلة التالية: ر '(خ) * س = -e ر. قررنا الحصول على عينة مع المتغيرات المنفصلة ونحصل ^{على: البريد -t = قانون الجنسية (C *} خ). نحن بحاجة فقط ليحل محل ر كتبها ص / س (لأنه إذا ص = ر * س، ثم t = ص / خ)، ونحصل على ^{الجواب: البريد -y / س = قانون الجنسية (} س * C).

المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى

لقد حان الوقت للنظر في موضوع واسع آخر. وسنتطرق المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى غير المتجانسة. وكيف تختلف عن السابقتين؟ دعونا نواجه الأمر. المعادلات من الدرجة الأولى التفاضلية الخطية في الشكل العام للمعادلة يمكن كتابة على النحو التالي: ذ '+ ز (خ) * ذ = ض (خ). ينبغي توضيح أن ض (خ) و (ز) (س) قد تكون القيم الثابتة.

وهنا مثال على ذلك: ذ '- ص * س = س ^2.

هناك طريقتان للحل، ونحن تأمر دعونا نفحص كل منهما. الأول - طريقة الاختلاف من الثوابت التعسفية.

حل المعادلة بهذه الطريقة، فمن الضروري لمساواة أول الجانب الأيمن من الصفر، وحل المعادلة الناتجة والتي بعد أن يصبح نقل أجزاء:

ذ '= ذ * س.

دى / DX = ذ * س.

دى / ص = xdx.

قانون الجنسية | ذ | = س + ^2/2 C.

ذ ه = ^{X2 / 2} * ^C ذ = C ₁ * البريد ^{X2 / 2.}

الآن لا بد من استبدال ثابت C ₁ على وظيفة الخامس (خ)، والتي سوف نجد.

ذ = ت * البريد ^{X2 / 2.}

رسم مشتق بديل:

^{ذ '= ت' * البريد X2} / ² -x * ت * البريد ^{X2 / 2.}

واستبداله هذه التعبيرات في المعادلة الأصلية:

الخامس '* البريد ^{X2 / 2} - س * * ت ه ^{X2 / 2} + س * * ت ه ^{X2 / 2} = س ^2.

يمكنك أن ترى أن في الجانب الأيسر من المصطلحين يتم تخفيض. وإذا كان بعض المثال أن ذلك لم يحدث، ثم كنت قد فعلت شيئا خاطئا. نواصل:

الخامس '* البريد ^{X2 / 2} = س ^2.

الآن تمكنا من حل المعادلة المعتادة التي تريد فصل المتغيرات:

العنف المنزلي / DX = س ^{2 /} ه ^X2 / ^2؛

العنف المنزلي = × ² * ه ^{- X2 / 2} DX.

لإزالة جزء لا يتجزأ، لدينا لتطبيق التكامل بالأجزاء هنا. ومع ذلك، هذا ليس موضوع هذا المقال. إذا كنت مهتما، ويمكنك معرفة من تلقاء نفسها لتنفيذ مثل هذه الأعمال. وليس من الصعب، ومع ما يكفي من المهارة والرعاية ليست مضيعة للوقت.

في اشارة الى الطريقة الثانية حل المعادلات غير متجانسة: طريقة برنولي. ما هو النهج هو أسرع وأسهل - والامر متروك لك.

لذلك، عندما حل هذه الطريقة، ونحن بحاجة لجعل الاستبدال: ص = ك * ن. هنا، ك و n - بعض الوظائف تبعا س. ثم مشتق سيبدو: ذ '= ك' * ن + ك * ن '. بديل اثنين من التبديلات في المعادلة:

ك '* ن + ك ن * ' + س * ك * ن = س ^2.

المجموعة الأعلى:

ك '* ن + ك * ( ن' + س * ن) = س ^2.

الآن لا بد من تساوي الصفر، وهذا هو بين قوسين. الآن، إذا كنت الجمع بين اثنين من المعادلات الناتجة عن ذلك، نحصل على نظام المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى لحلها:

ن '+ س * ن = 0؛

ك '* ن = س ^2.

المساواة الأولى تقرر كيف المعادلة المعتادة. للقيام بذلك، تحتاج إلى فصل المتغيرات:

DN / DX = س * ت.

DN / ن = xdx.

ونحن نأخذ جزءا لا يتجزأ ونحن على: قانون الجنسية (ن) = س ^2/2. ثم، إذا كان لنا أن التعبير عن ن:

ن = ه ^{X2 / 2.}

الآن بديلا المعادلة الناتجة في المعادلة الثانية:

ك '* البريد ^{X2 / 2} = س ^2.

وتحويل، ونحن الحصول على نفس المعادلة كما في الطريقة الأولى:

DK = س ^{2 /} ه ^X2 / ^2.

كما أننا لن مناقشة اتخاذ مزيد من الإجراءات. ويقال أنه في المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى الأولى حل يسبب صعوبات كبيرة. ومع ذلك، فإن غمر أعمق في هذا الموضوع هو بداية للحصول على أفضل وأفضل.

أين هي المعادلات التفاضلية؟

المعادلات التفاضلية نشطة جدا المستخدمة في الفيزياء، وتقريبا أن تكون جميع القوانين الأساسية في شكل فرق، وهذه الصيغ، التي نراها - حلا لهذه المعادلات. في الكيمياء، وأنها تستخدم لنفس السبب: وتستمد القوانين الأساسية من خلالهم. في علم الأحياء، يتم استخدام المعادلات التفاضلية لنمذجة سلوك النظم، مثل المفترس - الفريسة. أنها يمكن أن تستخدم أيضا لخلق نماذج من الاستنساخ، على سبيل المثال، مستعمرات الكائنات الحية الدقيقة.

كما المعادلات التفاضلية تساعد في الحياة؟

والجواب على هذا السؤال بسيط: لا شيء. إذا لم تكن عالما أو مهندسا، فمن غير المرجح أنها ستكون مفيدة. ومع ذلك، لا تؤذي لنعرف ما هي المعادلة التفاضلية ويتم حلها للتنمية الشاملة. ثم مسألة ابنا أو ابنة، "ما هو المعادلة التفاضلية؟" لا يضع لك في طريق مسدود. حسنا، إذا كنت عالما أو مهندسا، ثم تعرف على أهمية هذا الموضوع في أي علم. ولكن الأهم من ذلك، أن الآن إلى مسألة "كيفية حل المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى؟" سوف تكون دائما قادرة على إعطاء إجابة. توافق، هو دائما لطيفا عندما كنت أدرك أن ما الناس يخافون حتى لمعرفة ذلك.

المشاكل الرئيسية في الدراسة

المشكلة الرئيسية في فهم هذا الموضوع هو عادة سيئة وظائف التكامل والتفاضل. إذا كنت غير مريح تتحمل المشتقات والتكامل، وربما هو يستحق الكثير لتعلمه، لتعلم أساليب مختلفة من التكامل والتفاضل، وفقط بعد ذلك إلى دراسة المواد التي تم وصفها في هذه المادة.

بعض الناس يستغرب ان DX يمكن نقلها، كما سبق (في المدرسة) جادل بأن جزء دى / DX غير قابل للتجزئة. ثم كنت بحاجة لقراءة ما كتب حول هذا مشتق وفهم أن هذا هو موقف كميات متناه في الصغر، والتي يمكن التلاعب في حل المعادلات.

كثير من الناس لا يدركون على الفور أن حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى - وهذا هو في كثير من الأحيان وظيفة أو neberuschiysya لا يتجزأ، وهذا الوهم يعطي لهم الكثير من المتاعب.

ماذا يمكن دراستها من أجل فهم أفضل؟

فمن الأفضل أن تبدأ مزيد من الانغماس في عالم حساب التفاضل الكتب المتخصصة، على سبيل المثال، في التحليل الرياضي للطلاب من التخصصات غير الرياضية. يمكنك بعد ذلك الانتقال إلى الأدب أكثر تخصصا.

ويقال أنه بالإضافة إلى الفرق، لا تزال هناك معادلات لا يتجزأ، لذلك سيكون لديك دائما شيء إلى السعي لوما للدراسة.

استنتاج

ونحن نأمل أنه بعد قراءة هذا المقال سيكون لديك فكرة عن ما المعادلات التفاضلية وكيفية حلها بشكل صحيح.

في أي حال، والرياضيات في أي طريقة مفيدة لنا في الحياة. وهي تتطور المنطق والاهتمام، والتي بدونها كل رجل، ودون اليدين.