حساب التفاضل وظائف من واحد والعديد من المتغيرات

حساب التفاضل هو فرع من فروع التحليل الرياضي، الذي يدرس مشتق، وفروق واستخدامها في دراسة الوظائف.

قصة

ظهرت حساب التفاضل كعلم مستقل في النصف الثاني من القرن ال17، وذلك بفضل عمل نيوتن ليبنيز والذي وضعت الأحكام الأساسية في حساب فروق ولاحظوا وجود صلة بين التكامل والتفاضل. منذ الانضباط طور جنبا إلى جنب مع حساب التكاملات، وبالتالي تشكل أساس التحليل الرياضي. ظهور هذه الحصوات فتح فترة جديدة وحديثة في العالم الرياضي وتسبب في ظهور تخصصات جديدة في مجال العلوم. كما امتد إمكانية تطبيق الرياضيات في العلوم الطبيعية والهندسة.

المفاهيم الأساسية

ويستند حساب التفاضل على المفاهيم الأساسية للرياضيات. وهم: عدد الحقيقية، الاستمرارية والحد من وظيفة. بعد مرور فترة زمنية، أخذوا نظرة حديثة، وذلك بفضل لحساب التفاضل والتكامل لا يتجزأ والتفاضلية.

عملية إنشاء

حدث تشكيل حساب التفاضل في شكل التطبيق، ومن ثم المنهج العلمي قبل ظهور النظرية الفلسفية، التي تم إنشاؤها بواسطة نيكولاي Kuzansky. ويعتبر عمله أن يكون التطور التدريجي من العلم القديم في الحكم. وعلى الرغم من أن الفيلسوف نفسه لم يكن الرياضيات، مساهمته في تطوير العلوم الرياضية لا يمكن إنكارها. كوزا، واحدة من أصل أول من نظر في علم الحساب كما علم الأكثر دقة، الرياضيات ما يضع الوقت في السؤال.

في الرياضيات القديمة كان معيار عالمي وحدة، في حين أن الفيلسوف المقترح بأنه لا نهاية الاجراء جديدة إرجاع العدد الدقيق. في اتصال مع هذا التمثيل مقلوب من الدقة في العلوم الرياضية. المعرفة العلمية، في رأيه، وينقسم إلى عقلانية وذكية. والثاني هو أكثر دقة، وفقا للعالم، منذ الأول يعطي نتائج تقريبية فقط.

فكرة

الفكرة الأساسية ومفهوم حساب التفاضل المرتبطة الدالة في حي صغير من بعض النقاط. لهذا فمن الضروري إنشاء جهاز رياضي للعمل الدراسات التي السلوك في حي صغير من النقاط المثبتة على مقربة من سلوك دالة خطية أو متعدد الحدود. وبناء على هذا التعريف للمشتقات والتفضيلية.

ظهور مفهوم مشتق سببه عدد كبير من المشاكل العلوم الطبيعية والرياضيات، والتي أدت إلى تحديد القيم الحد من نفس النوع.

واحدة من المهام الرئيسية التي تعطى على سبيل المثال، بدءا من أقدم الفصول المدرسية، هو تحديد سرعة حركة نقطة في خط مستقيم وبناء خط المماس لهذا المنحنى. والفرق ربطت إلى ذلك، لأنه من الممكن لتقريب وظيفة في حي صغير من نقطة دالة خطية.

مقارنة مع مفهوم مشتق من وظيفة حقيقية متغير، تعريف الفروق يمر ببساطة على وظيفة ذات طابع عام، ولا سيما صورة الفضاء الإقليدية إلى آخر.

مشتق

دع تتحرك نقطة في اتجاه المحور الصادي، للمرة نأخذ س، الذي يقاس من بداية لحظة. وصف مثل هذه الحركة ممكن عن طريق وظيفة ذ = و (خ)، الذي يرتبط إلى كل نقطة زمنية س تنسيق نقطة displaceable. هذه الدعوة وظيفة في الميكانيكا لاتخاذ قانون الحركة. السمة الرئيسية للحركة، متفاوتة بشكل خاص، هي في السرعة اللحظية. عندما يتم نقل نقطة على طول المحور الصادي وفقا للقانون الميكانيكا، ونقطة زمنية عشوائية فإنه يكتسب تنسيق العاشر و (خ). في الوقت نقطة س + Δh، حيث يمثل Δh الزيادة من الوقت، وسوف kordinaty و (خ + Δh). صيغة بالتالي شكلت Δy = و (خ + Δh) - و (خ)، وهو ما يسمى وظيفة الزيادة. وهي نقطة من مسار اجتاز خلال الفترة من العاشر إلى x + Δh.

في اتصال مع وقوع سرعة في وقت مشتق يدار. مشتق من أي وظيفة في نقطة ثابتة تسمى الحد (على افتراض أنه موجود). فإنه يمكن الإشارة إلى بعض الشخصيات:

و "(خ)، ذ '، ý، مدافع / DX، دى / DX، مدافع (خ).

عملية حساب مشتق من التمايز المكالمة.

حساب التفاضل وظائف عدة متغيرات

يتم تطبيق هذه الطريقة عند احتساب دراسة وظيفة، العديد من المتغيرات. عندما يكون هناك نوعان من المتغيرات x و y، مشتق جزئية فيما يتعلق x في النقطة (أ) يسمى مشتق من هذه الوظيفة في العاشر مع ذ الثابتة.

قد يتبين من الرموز التالية:

و '(س) (س، ص)، ش' (خ)، ∂u / ∂x و∂f (س، ص) '/ ∂x.

المهارات المطلوبة

من أجل معرفة بنجاح وتكون قادرة على حل diffury المهارات المطلوبة في التكامل والتفاضل. لجعله أسهل للفهم المعادلات التفاضلية، يجب أن يفهم الموضوع مشتق و جزءا لا يتجزأ غير محددة. أيضا لا تؤذي لمعرفة للبحث عن مشتق من وظيفة ضمنية. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه في عملية التعلم وغالبا ما تستخدم التكامل والتمايز هذا.

أنواع المعادلات التفاضلية

تقريبا جميع الأعمال الرقابية المرتبطة المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى، وهناك 3 أنواع من المعادلات: متجانسة، مع المتغيرات انفصال، وخطي غير متجانسة.

وهناك أيضا معادلات أكثر الأنواع النادرة بإجمالي الفوارق، معادلة برنولي، وغيرها.

حلول أساسيات

للبدء، علينا أن نتذكر المعادلة الجبرية دورة المدرسة. وهي تحتوي على المتغيرات والأرقام. من أجل حل المعادلة التقليدية أن تجد الكثير من الأرقام التي ترضي حالة معينة. عادة، هذه المعادلات لها جذر واحد، والتحقق من صحة ينبغي ألا تحل محل هذه القيمة إلى مكان مجهول.

المعادلة التفاضلية هي مشابهة لهذه. بشكل عام، معادلة من الدرجة الأولى وتشمل:

• المتغير المستقل.
• مشتق من الوظيفة الأولى.
• وظيفة أو المتغير التابع.

في بعض الحالات، قد يكون هناك واحد غير معروف، X أو Y، لكنه ليس مهما بقدر ما هو من الضروري أن يكون أول مشتق، مع عدم وجود المشتقات ترتيب أعلى في حل وحساب التفاضل كان صحيحا.

حل المعادلة التفاضلية - وهو ما يعني أن يجد كل مجموعة من الوظائف التي هي مناسبة تعبير معين. هذه مجموعة من الوظائف وغالبا ما يطلق على محلول العامة.

حساب التفاضل والتكامل لا يتجزأ

حساب التفاضل والتكامل لا يتجزأ هو واحد من أقسام التحليل الرياضي، الذي يتناول مفهوم لا يتجزأ، والخصائص وطرق حسابها.

غالبا ما يحدث حساب يتجزأ عند حساب مساحة شكل منحني الأضلاع. بواسطة هذا يعني منطقة الحد، نحو الذي يجوز منطقة محددة سلفا من شكل مضلع المدرج مع زيادة تدريجية في يده، والجانب البيانات أقل من أي قيمة صغيرة تعسفية المحدد سابقا.

الفكرة الرئيسية في حساب مساحة أي شكل هندسي وحساب مساحة مستطيل، ثم هناك أدلة على أن مساحته تساوي حاصل ضرب طول قبل العرض. عندما يتعلق الأمر للهندسة، ثم يتم إجراء جميع المنشآت باستخدام مسطرة وبوصلة، ومن ثم نسبة الطول إلى العرض هو قيمة منطقية. عند حساب مساحة مثلث قائم الزاوية يمكن تحديد ذلك إذا وضعت مثلث المقبل، ويتم تشكيل مستطيل. في منطقة متوازي الاضلاع وتحسب في طريقة مشابهة ولكن قليلا أكثر تعقيدا، داخل المستطيل والمثلث. وفي مجال مضلع يعتبره مثلثات المتضمنة فيه.

في تحديد رحمة تعسفية، وهذه الطريقة لا تناسب المنحنى. إذا ما تم كسر ذلك إلى مربعات الفردية، وسوف تظل أماكن شاغرة. في هذه الحالة، في محاولة لاستخدام اثنين من المعاطف، مع المستطيلات فوق وتحت، ونتيجة لهذه تشمل الرسم البياني للدالة وأنه لا يتضمن. المهم هنا هو وسيلة لكسر هذه المستطيلات. أيضا، إذا ما أخذنا في الشوط الثاني أكثر وأكثر انخفاض، منطقة أعلى وأسفل يجب أن تتلاقى على قيمة معينة.

يجب أن يعود إلى طريقة لفصل إلى مستطيلات. هناك طريقتان الشعبية.

تم رسميا ريمان تعريف تكامل، التي أنشأتها لايبنتز ونيوتن، ومجال رسم بياني ثانوي. في هذه الحالة، فإننا يعتبر الرقم يتكون من عدد معين من المستطيلات العمودية التي تم الحصول عليها عن طريق قسمة الفاصلة. عندما كسر انخفاض هناك حدود الذي المنطقة محدود من مثل هذه النسبة، ويسمى هذا الحد تكامل ريمان وظيفة في فاصل زمني محدد.

الطريقة الثانية هي لبناء يبيسج لا يتجزأ، وتتكون في حقيقة أنه في مكان منطقة محددة الانفصال على جزء من الكمية المتكاملة وإعداد ثم المبلغ لا يتجزأ من القيم التي تم الحصول عليها في هذه الأجزاء، على فترات تقسيم مجموعتها من القيم، ثم لخص مع التدابير المماثلة من الصور العكسية من هذه التكاملات.

الوسائل الحديثة

كتب واحدة من الفوائد الرئيسية لدراسة التفاضل والتكامل Fikhtengol'ts - "من التفاضل والتكامل". كتاب له هو أداة أساسية لدراسة التحليل الرياضي، والتي صمدت العديد من الطبعات والترجمات إلى لغات أخرى. مكون للطلاب ولفترة طويلة تستخدم في مجموعة متنوعة من المؤسسات التعليمية باعتبارها واحدة من الفوائد الرئيسية لهذه الدراسة. أنه يعطي المعلومات النظرية والمهارات العملية. نشرت لأول مرة في عام 1948.

وظيفة البحث خوارزمية

لاستكشاف طرق وظيفة حساب التفاضل، تحتاج إلى متابعة وبالفعل نظرا الخوارزمية:

1. العثور على نطاق وظيفة.
2. البحث عن جذور معادلة معينة.
3. حساب النقيضين. للقيام بذلك، نحسب المشتقة ونقطة حيث يساوي الصفر.
4. نحن استبدال القيمة التي تم الحصول عليها في المعادلة.

أصناف من المعادلات التفاضلية

السيطرة على الدرجة الأولى (وإلا، التفاضل من متغير واحد) وأنواعها:

• مع المتغيرات فصل المعادلة: و (ذ) دى = ز (خ) DX.
• أبسط المعادلة التفاضلية أو وظيفة حساب التفاضل والتكامل من متغير واحد، بعد أن الصيغة: ذ '= و (خ).
• والخطية من الدرجة الأولى السيطرة غير الموحدة: ذ '+ P (خ) ص = س (خ).
• برنولي المعادلة التفاضلية: ذ '+ P (خ) ص = س (خ) ذ أ.
• المعادلة الإجمالية الفوارق مع: P (س، ص) DX + Q (س، ص) دى = 0.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية وأنواعها:

• الخطية المتجانسة معادلة الدرجة الثانية التفاضلية ذات ^{المعاملات الثابتة: ذ ن + الحمر '+ QY} = 0 ص، ف ينتمي R.
• غير متجانسة خطية الدرجة الثانية المعادلة التفاضلية مع ^قيمة المعاملات ^{الثابتة: ذ ن + الحمر '+ QY} = و (خ).
• الخطية المتجانسة ^{المعادلة التفاضلية: ذ ن + ص (خ)} ذ '+ ف (خ) ص = 0، وغير متجانسة الثانية ترتيب ^{المعادلة: ص ن + ص (خ)} ذ' + ف (خ) ذ = و (خ).

المعادلات التفاضلية للأوامر العليا وأنواعها:

• المعادلة التفاضلية، مما يتيح الحد من ^{أجل: F (x و y (ك} )، ص (ك + ^{1)، ..، ص (ن)} = 0.
• معادلة خطية من أعلى ترتيب ^{_{متجانسة: ذ (ن) + و (}} ن- ₁₎ ذ ^{(ن 1)} + ... + و ₁ ذ '+ و ₀ ص = 0، ^{_{وغير متجانسة: ذ (ن) + و (}} ن _-1) ذ ^{(ن 1)} + ... + و ₁ ذ '+ و ₀ ذ = و (خ).

مراحل حل المشكلة مع المعادلة التفاضلية

مع مساعدة من جهاز التحكم عن بعد يتم حل ليس فقط الرياضيات أو المشاكل المادية، ولكن أيضا مختلف المشاكل البيولوجيا والاقتصاد والاجتماع وغيرها. وعلى الرغم من مجموعة واسعة من المواضيع، يجب اتباع تسلسل منطق واحد من أجل حل هذه المشاكل:

1. وضع السيطرة. واحدة من أصعب المراحل، الأمر الذي يتطلب أقصى قدر من الدقة، لأن أي خطأ سيؤدي إلى نتائج خاطئة تماما. فمن الضروري أن تأخذ في الاعتبار جميع العوامل التي تؤثر على هذه العملية، وتحديد الشروط الأولية. وينبغي أيضا أن يستند إلى وقائع واستنتاجات منطقية.
2. لحل المعادلات. هذه العملية هي أسهل للنقطة الأولى، لأنه يتطلب التنفيذ الصارم فقط من الحسابات الرياضية.
3. تحليل وتقييم النتائج. ينبغي تقييم الحل المستمدة لتركيب القيمة العملية والنظرية للنتيجة.

مثال على استخدام المعادلات التفاضلية في الطب

باستخدام جهاز التحكم عن بعد في مجال الطب وجدت في بناء نموذج رياضي الوبائي. لا ينبغي لنا أن ننسى أن تم العثور على هذه المعادلات أيضا في علم الأحياء والكيمياء، والتي هي قريبة من الدواء، لأنه يلعب دورا هاما في دراسة السكان البيولوجي مختلف والعمليات الكيميائية في الجسم البشري.

في هذا المثال، وانتشار وباء العدوى يمكن علاجها في مجتمع معزول. وتنقسم سكان إلى ثلاثة أنواع:

• المصابين، وعدد من العاشر (ر)، والذي يتألف من أفراد وشركات المعدية، كل منها المعدية (فترة حضانة قصيرة).
• ويشمل النوع الثاني عرضة الأفراد ذ (ر)، ويمكن أن يصاب عن طريق الاتصال مع المصابين.
• ويشمل النوع الثالث الأفراد الحرارية ض (ر)، والتي هي في مأمن أو فقدت بسبب المرض.

عدد الأفراد باستمرار، وحفظ النسل، لا يعتبر الوفيات الطبيعية والهجرة. في صميم سيكون فرضيتين.

المرض في المئة في بعض نقطة زمنية تساوي س (ر) ذ (ر) (افتراض يقوم على نظرية أن عدد الحالات بما يتناسب مع عدد من التقاطعات بين المرضى وأفراد الاستجابة، والتي في تقريب أول يتناسب مع العاشر (ر) ذ (ر))، في وبالتالي فإن عدد الحالات في تزايد مستمر، وعدد من انخفاض عرضة بمعدل الذي يحسب بواسطة الفأس صيغة (ر) ذ (ر) (أ> 0).

عدد من الحيوانات غير المستجيبين الذين ماتوا أو المناعة المكتسبة، وزيادة في معدل الذي يتناسب مع عدد من الحالات، ب س (ر) (ب> 0).

ونتيجة لذلك، يمكنك إعداد نظام المعادلات مع جميع المؤشرات الثلاثة على أساس نتائجها.

استخدام مثال الاقتصاد

وكثيرا ما يستخدم حساب التفاضل في التحليل الاقتصادي. وتعتبر المهمة الرئيسية في التحليل الاقتصادي لتكون الدراسة من قيم الاقتصاد، والتي يتم تسجيلها في شكل وظيفة. يتم استخدامه في حل المشاكل مثل التغيرات في زيادة ضريبة الدخل على الفور بعد، رسوم الدخول، والتغيرات في الإيرادات عند تغيير قيمة المنتج، في ما يمكن استبدال نسبة من قبل الموظفين المتقاعدين مع معدات جديدة. لحل هذه المشاكل، هو مطلوب منها لبناء وظيفة الاتصال من المتغيرات واردة، والتي، بعد دراستها من قبل حساب التفاضل.

غالبا ما يكون من الضروري العثور على الأداء الأكثر الأمثل في المجال الاقتصادي: أقصى قدر من الإنتاجية، وهو أعلى دخل، والتكلفة الأقل وهلم جرا. كل عنصر من هذا النوع هي وظيفة من الحجج واحد أو أكثر. على سبيل المثال، يمكن اعتبار إنتاج بوصفها وظيفة من العمالة ورأس المال. في هذا الصدد، وإيجاد قيمة مناسبة يمكن خفضها الى العثور على الأقصى أو الحد الأدنى من وظيفة من متغير واحد أو أكثر.

مثل هذه المشاكل تخلق فئة من المشاكل extremal في المجال الاقتصادي، والتي تحتاج حساب التفاضل. عندما يطلب من المؤشرات الاقتصادية إلى تقليل أو زيادة بوصفها وظيفة من العوامل الأخرى، فإن وظيفة أقصى نقطة نسبة الزيادة إلى حجج تميل إلى الصفر إذا كانت الزيادة من ذي الحجة تميل إلى الصفر. خلاف ذلك، عندما يميل هذا الموقف إلى قيمة إيجابية أو سلبية معينة، وهذه النقطة المحددة غير مناسبة، لأن عن طريق زيادة أو خفض حجة يمكن تغيير القيمة تعتمد في الاتجاه المطلوب. في المصطلحات حساب التفاضل، وهذا يعني أن الشروط المطلوبة للحصول على أقصى الوظيفة هي قيمة الصفر من مشتقاته.

الاقتصاد ليس مشكلة شائعة العثور على extremum من وظيفة من عدة متغيرات، لأنه يتم إجراء المؤشرات الاقتصادية تتكون من العديد من العوامل. ومثل هذه القضايا مفهومة جيدا في نظرية ظائف عدة متغيرات، وطريقة حساب الفرق. وتشمل هذه المشاكل غير مكبر فقط والتقليل من وظيفة، ولكن أيضا القيود. هذه الأسئلة تتعلق البرمجة الرياضية، وحلت أنهم بمساعدة من الطرق وضعت خصيصا تعتمد أيضا على هذا الفرع من العلوم.

ومن أساليب حساب التفاضل المستخدمة في الاقتصاد، وقسم المهم هو الاختبار النهائي. في المجال الاقتصادي، مصطلح يشير إلى مجموعة من أساليب البحث من أداء متغير والنتائج عند تغيير حجم الخلق، استهلاك، استنادا إلى تحليل القيم الحدية الخاصة بهم. الحد يعتبر مؤشرا مشتق أو المشتقات الجزئية مع العديد من المتغيرات.

حساب التفاضل العديد من المتغيرات - موضوع مهم من التحليل الرياضي. لإجراء دراسة مفصلة، يمكنك استخدام مجموعة متنوعة من الوسائل التعليمية لمؤسسات التعليم العالي. واحدة من Fikhtengol'ts خلق الأكثر شهرة - "من التفاضل والتكامل". وكم من اسم من أجل حل المعادلات التفاضلية ذات أهمية كبيرة لديهم المهارات للعمل مع التكاملات. عندما يكون هناك حساب التفاضل وظائف من متغير واحد، فإن القرار يصبح أسهل. على الرغم من أنه تجدر الإشارة، فإنه يتبع نفس القواعد الأساسية. في الممارسة العملية، للتحقيق في وظيفة حساب التفاضل، ما عليك سوى اتباع خوارزمية القائمة بالفعل، والتي تعطى في المدرسة الثانوية، وتعقيدا إلا قليلا مع إدخال متغيرات جديدة.