ماكلورين والتحلل من بعض وظائف

يجب دراسة الرياضيات المتقدمة أن تدرك أن مجموع سلسلة السلطة في فترة من التقارب في عدد واحد منا، هو رقم المستمر وغير محدود من المرات وظيفة متباينة. السؤال الذي يطرح نفسه: هل من الممكن القول بأن إعطاء التعسفية وظيفة و (خ) - هو مجموع سلسلة السلطة؟ وهذا هو، تحت أي ظروف وو التي ستعقد بين و (خ) يمكن أن تكون ممثلة من خلال سلسلة السلطة؟ أهمية هذه المسألة هو أنه من الممكن أن تحل محل ما يقرب من £ اللاهوتية و (خ) هو مجموع من حيث القليلة الأولى من سلسلة السلطة، وهذا هو متعدد الحدود. هذه وظيفة استبدال تعبير بسيط جدا - متعدد الحدود - مريحة وفي حل بعض المشاكل في التحليل الرياضي، وبالتحديد في حل التكاملات عند حساب المعادلات التفاضلية ، الخ ...

ثبت أن لبعض و-F II (خ)، حيث يمكن حساب المشتقات من (ن + 1) النظام -th، بما في ذلك أحدث في محيط (α - R. س ₀ + R) نقطة س = α صيغة العادلة:

يدعى هذه الصيغة بعد العالم الشهير بروك تايلور. ودعا عدد من مستمد من سابقتها، سلسلة ماكلورين:

وهناك قاعدة الذي يجعل من الممكن لإنتاج التوسع في سلسلة ماكلورين:

1. تحديد مشتقات الأولى والثانية الثالثة، ... النظام.
2. احسب ما هي المشتقات عند x = 0.
3. سجل ماكلورين سلسلة لهذه المهمة، ومن ثم لتحديد فاصل من التقارب.
4. تحديد الفاصل الزمني (-R، R)، حيث الجزء المتبقي من صيغة ماكلورين

R _ن (خ) -> 0 ل n -> ما لا نهاية. في حالة وجود واحد، ويجب أن يكون ذلك وظيفة و (خ) يساوي مجموع من سلسلة ماكلورين.

تنظر الآن سلسلة ماكلورين لوظائف الفردية.

1. وهكذا، فإن أول ما و (خ) = ه ^س. بطبيعة الحال، أن خصائصها بحيث F-الأولى أ استمدت مجموعة متنوعة من أوامر، وو ^{(ك) (س)} = ه ^x، حيث k غير متساو لجميع الأرقام الطبيعية. بديل س = 0. نحصل و ^{(ك) (0)} = ه ⁰ = 1، ك = 1،2 ... بناء على ما تقدم، فإن عددا من ه ^س وسيكون على النحو التالي:

2. سلسلة ماكلورين لو وظيفة (س) = س الخطيئة. يحدد على الفور أن f-ستعقد لجميع المجهولة سوف تكون مشتقة، إلى جانب F ^'(س) = جتا س = الخطيئة (س + ن / 2)، ^{و' '(س)} = س = -sin الخطيئة (خ + 2 * ن / ²⁾ ...، و ^{(ك) (س)} = الخطيئة (س + ن * ك / 2)، حيث ك يساوي أي عدد صحيح موجب. وهذا هو، مما يجعل العمليات الحسابية البسيطة، يمكننا أن نستنتج أن سلسلة لو (س) = س الخطيئة سوف يكون مثل هذا:

3. الآن دعونا النظر اتحاد الجهاد الإسلامي F-و (س) = جتا س. ومن غير المعروف لجميع المشتقات من أجل التعسفي، ^{و| و (ك) (خ)} | = | كوس (س + ك * ن / 2) | <= 1، ك = 1،2 ... مرة أخرى، بعد أن حققت بعض الحسابات، نجد أن سلسلة لو (خ) = جتا س سيبدو هذا:

لذلك، لدينا قائمة أهم سمات التي يمكن توسيعها في سلسلة ماكلورين، لكنها تكمل سلسلة تايلور لبعض الوظائف. الآن نحن سوف قائمة بهم كذلك. كما تجدر الإشارة إلى أن تايلور سلسلة وسلسلة ماكلورين هي جزء مهم من سلسلة ورشة عمل من القرارات في الرياضيات العليا. لذا، سلسلة تايلور.

1. الأولى هي سلسلة من F II و (س) = من قانون الجنسية (1 + س). كما في الأمثلة السابقة، لهذا نحن و (س) = من قانون الجنسية (1 + س) يمكن طيها عددا، وذلك باستخدام النموذج العام لسلسلة ماكلورين. ولكن لهذه الميزة ماكلورين يمكن الحصول عليها أسهل بكثير. دمج سلسلة هندسية، ونحن الحصول على رقم لو (س) = من قانون الجنسية (1 + س) من عينة:

2. والثاني، الذي سيكون نهائيا في هذه المقالة، سوف تكون سلسلة لو (س) = س arctg. ل x تنتمي إلى الفترة [-1، 1] هو التحلل صحيح:

هذا كل شيء. في هذه المقالة لقد شملهم الاستطلاع سلسلة تايلور الأكثر استخداما وسلسلة ماكلورين في الرياضيات العليا، وخاصة في الكليات الاقتصادية والتقنية.