فروق - ما هذا؟ كيف تجد الفرق وظيفة؟

جنبا إلى جنب مع المشتقات وظائفهم فروق - هو بعض المفاهيم الأساسية في حساب التفاضل، القسم الرئيسى من التحليل الرياضي. كما ترتبط ارتباطا وثيقا، كل منهما عدة قرون تستخدم على نطاق واسع في حل جميع المشاكل تقريبا التي نشأت في سياق النشاط العلمي والتقني.

ظهور مفهوم التفاضلية

لأول مرة جعلت من الواضح أن مثل هذا الفارق، أحد مؤسسي (جنبا إلى جنب مع Isaakom Nyutonom) التفاضل الشهيرة عالم الرياضيات الألماني جوتفريد Vilgelm Leybnits. قبل أن علماء الرياضيات في القرن ال17. تستخدم فكرة واضحة جدا وغامضة بعض "غير مقسمة" متناهية الصغر أي وظيفة معروفة، وهو ما يمثل قيمة ثابتة صغيرة جدا ولكنها لا تساوي الصفر، أدناه والتي تقدر وظيفة لا يمكن أن يكون ببساطة. وبالتالي فإنه لم يكن سوى خطوة واحدة لإدخال مفاهيم الزيادات متناهية الصغر من الحجج وظيفة وزيادات كل منها من الوظائف التي يمكن التعبير عنها من حيث مشتقات الأخير. واتخذ هذه الخطوة في وقت واحد تقريبا المذكورين أعلاه العلماء عظيم.

وبناء على الحاجة إلى معالجة مشاكل الميكانيكا العملية الملحة التي تواجه العلوم بسرعة تطوير الصناعة والتكنولوجيا، التي أنشئت نيوتن وايبنتز الطرق الشائعة لإيجاد وظائف معدل التغير (وخاصة فيما يتعلق السرعة الميكانيكية للجسم مسار معروفة)، مما أدى إلى إدخال هذه المفاهيم، كما وظيفة المشتقة، والفرق، ووجد أيضا حلول مشكلة خوارزمية عكسية كما هو معروف في حد ذاته (متغير) سرعات عبرت للعثور على المسار الذي أدى إلى مفهوم التكامل علاء.

في أعمال لايبنتز ونيوتن الفكرة لأول مرة يبدو أن الفروق - يتناسب مع الزيادة الحجج الأساسية Δh زيادات وظائف Δu التي يمكن تطبيقها بنجاح لحساب قيمة هذا الأخير. وبعبارة أخرى، فقد اكتشف أن وظيفة الزيادة قد تكون في أي لحظة (ضمن المجال الخاص به من التعريف) ويعبر عنها من خلال مشتقاته سواء Δu = ذ '(خ) Δh + αΔh حيث ألفا Δh - تبقى، وتميل إلى الصفر كما Δh → 0، أسرع بكثير من Δh الفعلي.

وفقا لمؤسسي التحليل الرياضي، والفروق - وهذا هو بالضبط الفصل الدراسي الأول في الزيادات من أية وظائف. حتى من دون وجود تفهم واضح المعالم لتسلسل مفهوم الحد حدسي أن قيمة تفاضلية للمشتقات تميل إلى العمل عندما Δh → 0 - Δu / Δh → ذ '(خ).

وخلافا لنيوتن، الذي كان في المقام الأول في الفيزياء والأجهزة الرياضية تعتبر أداة مساعدة لدراسة المشاكل المادية، دفعت لايبنتز المزيد من الاهتمام لهذا الدليل، بما في ذلك نظام من الرموز البصرية ومفهومة القيم الرياضية. وكان هو الذي اقترح ترميز موحد من فروق دالة دى = ص "(خ) DX، DX، ومشتق من وظيفة حجة كما هم ذ العلاقة '(س) = دى / DX.

تعريف الحديث

ما هو الفرق من حيث الرياضيات الحديثة؟ يرتبط ارتباطا وثيقا بمفهوم زيادة المتغيرة. إذا كان المتغير ذ يأخذ القيمة الأولى ذ ذ = _1، ثم ص = ص _2، والفرق ص ₂ ─ ذ ₁ يسمى ذ قيمة الزيادة. الزيادة يمكن أن تكون إيجابية. السلبية والصفر. كلمة "زيادة" تم تعيينه Δ، Δu تسجيل (قراءة 'دلتا ذ') يدل على قيمة الزيادة ذ. حتى Δu = ذ ₂ ─ ذ _1.

إذا كانت قيمة Δu وظيفة التعسفية ذ = و (خ) قد تكون ممثلة على النحو Δu = A Δh + α، حيث A هو لا الاعتماد على Δh، ر. E. A = CONST لس معينة، وα المدى عندما Δh → 0 يميل إلى بل لعله أسرع من Δh الفعلي، ثم أول ( "سيد") وهو مصطلح نسبي Δh، وغير ل(خ) التفاضلية ذ = و يرمز دى أو مدافع (خ) (قراءة "ذ دي"، "دي ممثل المؤسسة من X"). فروق لذلك - الخطية "الرئيسي" فيما يتعلق مكونات الزيادات وظائف Δh.

التفسير الميكانيكي

السماح ليالي = و (ر) - المسافة في خط مستقيم تتحرك نقطة مادية من الموقف المبدئي (ر - وقت السفر). الاضافة Δs - هو وسيلة نقطة خلال فترة زمنية Δt، وس التفاضلية = و '(ر) Δt - هذا المسار، الذي سيعقد نقطة للمرة نفس Δt، إذا كان الإبقاء على سرعة و' (ر)، وصلت في الوقت t . عندما يختلف لس Δt مسار وهمي متناهية الصغر من Δs الفعلية جود متناهي الصغر مرتبة أعلى فيما يتعلق Δt. إذا كانت سرعة في الزمن t لا تساوي الصفر، س القيمة التقريبية يعطي نقطة التحيز الصغيرة.

التفسير الهندسي

دع خط L هو الرسم البياني ذ = و (خ). ثم Δ س = MQ، Δu = QM "(انظر الشكل أدناه). الظل MN يكسر قطع Δu إلى قسمين، QN وNM. أول وΔh يتناسب QN = MQ ∙ TG (قمن زاوية) = Δh و "(خ)، ر. E QN هو الفارق دى.

الجزء الثاني من الفرق Δu NM'daet ─ دى، عندما Δh طول → 0 NM "يقلل بشكل أسرع من الزيادة من ذي الحجة، أي أنه يحتوي على ترتيب أعلى من صغر Δh. في هذه الحالة، إذا F '(خ) ≠ 0 (الظل غير مواز OX) شرائح QM'i QN ما يعادلها؛ وبعبارة أخرى NM 'يتناقص بسرعة (ترتيب صغر أعلى لها) من إجمالي الزيادة Δu = QM. وهذا واضح في الشكل (تقترب قطاع M'k M NM'sostavlyaet عن نسبة QM "شريحة أصغر).

لذا، بيانيا التفاضلية وظيفة التعسفية تساوي الزيادة من تنسيق من الظل.

مشتق والتفضيلية

وهناك عامل في الفصل الدراسي الأول من وظيفة التعبير زيادة تساوي قيمة لها و المشتقة '(خ). وهكذا، فإن العلاقة التالية: - دى = و "(خ) Δh أو مدافع (س) = و" (خ) Δh.

ومن المعروف أن الزيادة في حجة مستقلة تساوي في التفاضلي Δh = DX. وفقا لذلك، يمكن أن نكتب: F '(س) = DX دى.

العثور على (قال بعض الأحيان أن يكون "القرار") فروق يتم تنفيذها بواسطة نفس القواعد للمشتقات. وفيما يلي قائمة من لهم.

ما هو أكثر عالمية: الزيادة من حجة أو التفاضلية

هنا لا بد من تقديم بعض التوضيحات. تمثيل قيمة و '(خ) التفاضلية Δh ممكن عند النظر في العاشر كحجة. ولكن وظيفة يمكن أن تكون معقدة، حيث x يمكن أن تكون وظيفة من ر حجة. ثم تمثيل التعبير التفاضلية للF '(خ) Δh، كقاعدة عامة، فإنه من المستحيل. ما عدا في حالة من التبعية الخطي س = في + ب.

كما أن الصيغة و '(س) = DX دى، ثم في حالة مستقلة حجة العاشر (ثم DX = Δh) في حالة الاعتماد حدودي من س ر، فمن التفاضلية.

على سبيل المثال، والتعبير 2 × Δh هو لص = س ² التفاضلية عندما x هو حجة. نحن الآن س = ر ² وتحمل ر حجة. ثم ذ = × ² = ^{4 ر.}

ويعقب ذلك (ر + Δt) = ² ر ² + 2tΔt + Δt ^2. وبالتالي Δh = 2tΔt + Δt ^2. وبالتالي: 2xΔh = 2T ² (2tΔt + Δt ^2).

هذا التعبير ليست متناسبة مع Δt، وبالتالي هو الآن 2xΔh لا التفاضلية. ويمكن العثور عليها من المعادلة ص = س ² = ر ^4. وهو يساوي دى = 4T ³ Δt.

وإذا أخذنا 2xdx التعبير، فمن والفرق ص = س ² لأي تي حجة. في الواقع، عندما س = ر ² الحصول DX = 2tΔt.

حتى 2xdx = 2T ² 2tΔt = 4T ³ .DELTA.t، ر. E. وفروق التعبير سجلت من قبل اثنين من المتغيرات المختلفة تتزامن.

استبدال الزيادات الفوارق

إذا و "(خ) ≠ 0، ثم Δu ويعادل دى (عندما Δh → 0)؛ إذا F '(س) = 0 (معنى ودى = 0)، فهي ليست ما يعادلها.

على سبيل المثال، إذا ص = س ^2، ثم Δu = (س + Δh) ² ─ × ² = 2xΔh + Δh ² و دى = 2xΔh. إذا كان x = 3، ثم لدينا Δu = 6Δh + Δh ² و دى = 6Δh التي تعادل بسبب Δh ² → 0، عندما س = 0 قيمة Δu = Δh ² و دى = 0 ليست مكافئة.

هذه الحقيقة، جنبا إلى جنب مع هيكل بسيط من الفرق (م. E. الخطية فيما يتعلق Δh)، وكثيرا ما يستخدم في حساب تقريبي، على افتراض أن دى Δu ≈ لΔh صغير. البحث عن وظيفة التفاضلية هي عادة أسهل من حساب القيمة الدقيقة للزيادة.

على سبيل المثال، لدينا مكعب معدني مع حافة س = 10.00 سم. في تسخين حافة تطول على Δh = 0.001 سم. كيف زيادة حجم مكعب V؟ لدينا V = × ^2، بحيث DV = 3X ² = 3 Δh ∙ ∙ 0 10 ^01/02 = 3 (سم ^3). زيادة ΔV يعادل التفاضلية DV، بحيث ΔV = 3 سم ^3. سيكون الحساب الكامل تعطي ΔV = 10،01 ─ ³ من 10 ³ = 3.003001. ولكن نتيجة لكافة الأرقام ما عدا الأولى لا يمكن الاعتماد عليها. وبالتالي، فإنه لا يزال من الضروري تقريبه إلى 3 سم ^3.

ومن الواضح أن هذا النهج هو مفيد فقط إذا كان من الممكن لتقدير القيمة المنقولة مع الخطأ.

وظيفة التفاضلية: الأمثلة

دعونا في محاولة لايجاد والفرق من وظيفة ذ = × ^{3، وإيجاد} المشتقة. دعونا نعطي حجة زيادة Δu وتحديد.

Δu = (Δh + س) ³ ─ × ³ = 3X ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

هنا، ومعامل A = 3X ² لا تعتمد على Δh، بحيث الفصل الدراسي الأول يتناسب Δh، العضو الآخر 3xΔh Δh ² + ³ عندما Δh → 0 يقلل أسرع من الزيادة من ذي الحجة. ونتيجة لذلك، وهو عضو في 3X ² Δh هو الفرق ذ = س ^3:

دى = 3X ² Δh = 3X ² DX أو د (× ³⁾ = 3X ² DX.

حيث د (× ³⁾ / DX = 3X ^2.

دى نحن الآن في العثور على وظيفة ذ = 1 / x بواسطة المشتقة. ثم د (1 / س) / DX = ─1 / × ^2. دى لذلك = ─ Δh / × ^2.

فروق يتم إعطاء وظائف الجبرية الأساسية أدناه.

حسابات تقريبية باستخدام التفاضلية

لتقييم و وظيفة (خ)، ومشتقاته و "(خ) عند x = وغالبا ما يكون صعبا، ولكن لتفعل الشيء نفسه في محيط س = ليست سهلة. ثم تأتي لمساعدة التعبير تقريبي

و (أ + Δh) ≈ و "(أ) Δh + و (أ).

وهذا يعطي قيمة تقريبية وظيفة في زيادات صغيرة من خلال والتفاضلية Δh و "(أ) Δh.

ولذلك، هذه الصيغة تعطي تعبيرا تقريبي لوظيفة عند نقطة نهاية جزء من طول Δh كمبلغ من قيمته في نقطة الانطلاق من الجزء (س = أ)، والفرق في نفس نقطة البداية. دقة طريقة لتحديد قيم وظيفة أدناه يوضح الرسم.

ومع ذلك معروفة والتعبير الدقيق لقيمة وظيفة س = أ + Δh التي قدمها صيغة زيادات محدودة (أو، بدلا من ذلك، صيغة لاغرانج)

و (أ + Δh) ≈ و "(ξ) Δh + و (أ)،

حيث النقطة س = أ + ξ هو في الفترة من العاشر = وإلى x = و+ Δh، على الرغم من موقفها الدقيق غير معروف. الصيغة الدقيقة يسمح لتقييم الخطأ صيغة تقريبية. إذا وضعنا في لاغرانج صيغة ξ = Δh / 2، على الرغم من أنه يتوقف عن أن يكون دقيقا، ولكنه يعطي، وكقاعدة عامة، واتباع نهج أفضل بكثير من التعبير الأصلي من حيث الفرق.

خطأ الصيغ التقييم من خلال تطبيق التفاضلية

أدوات القياس ، من حيث المبدأ، غير دقيقة، وتقديمهم إلى بيانات القياس الموافق الخطأ. فهي تتميز الحد من الخطأ المطلق، أو، باختصار، الخطأ الحد - إيجابي، وهو ما يتجاوز بوضوح الخطأ في القيمة المطلقة (أو على الأكثر يساوي ذلك). الحد من الخطأ النسبي يسمى حاصل الحصول عليها عن طريق قسمة هذا الرقم على القيمة المطلقة من القيمة المقاسة.

دعونا بالضبط صيغة ذ = و (خ) وظيفة تستخدم لvychislyaeniya ص، ولكن قيمة x هو نتيجة القياس، وبالتالي يجلب الخطأ ذ. ثم، للعثور على الحد من الخطأ المطلق │Δu│funktsii ذ، باستخدام الصيغة

│Δu│≈│dy│ = │ و "(خ) ││Δh│،

حيث │Δh│yavlyaetsya حجة خطأ هامشية. يجب أن يتم تقريب │Δu│ كمية صعودا، كما حساب دقيق في حد ذاته هو استبدال الزيادة على حساب التفاضلية.