جذور معادلة من الدرجة الثانية: معنى جبري والهندسي

في ميدان الجبر يسمى الدرجة الثانية المعادلة. المعادلة يعني تعبير رياضي، التي لديها في تكوينها من واحد أو أكثر غير معروف. معادلة من الدرجة الثانية - معادلة رياضية وجود واحد على الأقل غير معروف في درجة مربع. المعادلة من الدرجة الثانية - الدرجة الثانية المعادلة الموضحة الهوية يعني تساوي الصفر. حل الساحة المعادلة هي نفسها التي تحدد الجذور التربيعية من المعادلة. معادلة من الدرجة الثانية نموذجية في الشكل العام:

W * ج ^ 2 + T * ج + O = 0

حيث W، T - معاملات جذور معادلة من الدرجة الثانية.

O - معامل الحرة؛

ج - جذور التربيعية المعادلة (دائما قيمتين C1 و C2).

كما سبق ذكره، فإن مشكلة حل معادلة من الدرجة الثانية - العثور على جذور معادلة من الدرجة الثانية. للعثور عليهم، تحتاج إلى العثور على التمايز:

N = T ^ 2 - 4 * W * O

الصيغ التمايز اللازمة لإيجاد الحلول الجذرية C1 و C2:

C1 = (-T + √N) / 2 * C2 W و= (-T - √N) / 2 * W

إذا كانت معادلة من الدرجة الثانية لعامل الشكل العام في جذور T لها قيمة متعددة، يتم استبدال المعادلة:

W * ج ^ 2 + 2 * U * ج + O = 0

وجذوره تبدو وكأنها التعبير:

C1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W و C2 = [-U - √ (U ^ 2-W * O)] / W

في كثير من الأحيان قد يكون معادلة مظهر مختلف قليلا عندما قد يكون C_2 لا W. معامل في هذه الحالة، فإن المعادلة أعلاه قد شكل:

ج ^ 2 + F * ج + L = 0

حيث F - عامل في الجذر.

L - عامل حر؛

ج - جذر مربع (دائما قيمتين C1 و C2).

ويسمى هذا النوع من المعادلة معادلة من الدرجة الثانية معين. اسم "خفض" ذهب من صيغة يشتغل معادلة من الدرجة الثانية نموذجية، إذا كان معامل الجذر W يحتوي على قيمة واحدة. في هذه الحالة، فإن جذور معادلة من الدرجة الثانية:

C1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] وC2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

في حالة القيم حتى معامل جذور الجذر F سوف يكون لها حل:

C1 = -F + √ (F ^ 2-L) C2 = -F - √ (F ^ 2-L)

إذا كنا نتحدث عن المعادلات من الدرجة الثانية، فمن الضروري أن نذكر نظرية من المواقع. وهو ينص على أن القوانين التالية لمعادلة من الدرجة الثانية تخفيض:

ج ^ 2 + F * ج + L = 0

C1 + C2 = -F و C1 * C2 = L

في معادلة من الدرجة الثانية العامة جذور معادلة من الدرجة الثانية هي تبعيات ذات الصلة:

W * ج ^ 2 + T * ج + O = 0

C1 + C2 = -T / W و C1 * C2 = O / W

الآن النظر في الخيارات من المعادلات التربيعية وإيجاد الحلول لها. كل واحد منهم يمكن أن يكون اثنين، كما لو كان عضوا في c_2 مفقود، ثم سوف المعادلة لا تكون مربعة. وبالتالي:

1. W * ج ^ 2 + T * ج = 0 تجسيد معادلة من الدرجة الثانية بدون عامل حر (عضو).

الحل هو:

W * ج ^ 2 = -T * ج

C1 = 0 و c2 = -T / W

2. W * ج ^ 2 + O = 0 تجسيد معادلة من الدرجة الثانية دون ولاية ثانية، عندما نفسه MODULO جذور معادلة من الدرجة الثانية.

الحل هو:

W * ج ^ 2 = -O

C1 = √ (-O / W) و c2 = - √ (-O / W)

كل هذا كان الجبر. النظر في معنى الهندسي الذي لديه معادلة من الدرجة الثانية. يوصف المعادلة من الدرجة الثانية في هندسة بواسطة دالة القطع المكافئ. في كثير من الأحيان المهمة للعثور على جذور معادلة من الدرجة الثانية لطلاب المدارس الثانوية؟ هذه الجذور تعطي مفهوم كيفية تتقاطع وظيفة الرسم البياني (القطع المكافئ) مع محور تنسيق - الأفقي. إذا، بعد أن قررت معادلة من الدرجة الثانية، وحصلنا على قرار غير عقلاني من الجذور، وسنقوم بعد ذلك التقاطع لا. إذا جذر له قيمة فعلية واحدة، وظيفة يعبر المحور السيني في مكان واحد. إذا كانت جذور اثنين، ثم، على التوالي، - نقطتين من التقاطع.

ومن الجدير بالذكر أنه بموجب تعني جذور اللاعقلانية قيمة سالبة تحت الجذر، في ايجاد الجذر. القيمة المادية - أي قيمة إيجابية أو سلبية. في حالة العثور على جذر واحد فقط يعني أن جذور نفسها. اتجاه منحنى في النظام الديكارتي تنسيق يمكن أيضا أن تكون محددة سلفا من قبل معاملات جذور W و T. إذا كان لدى W قيمة موجبة، يتم توجيه فرعين من القطع المكافئ صعودا. إذا كان لدى W قيمة سالبة، - أسفل. أيضا، إذا كان معامل B لديه علامة إيجابية، حيث W هو أيضا إيجابية، وقمة الرأس وظيفة القطع المكافئ هي ضمن "ص" من "-" إلى ما لا نهاية "+" اللانهاية "ج" في مجموعة من ناقص اللانهاية إلى الصفر. إذا T - قيمة إيجابية، وW - هو سلبي، وعلى الجانب الآخر من الإحداثي السيني.