نظم المعادلات الجبرية الخطية. نظم متجانسة من المعادلات الجبرية الخطية

العودة إلى المدرسة، كل واحد منا درس المعادلات، وربما، نظام المعادلات. ولكن ليس الكثير من الناس يعرفون أن هناك عدة طرق لحلها. اليوم سنناقش بالتفصيل جميع الأساليب لحل نظام معادلات جبرية خطية تتكون من أكثر من اثنين من المساواة.

قصة

وحتى الآن، من المعروف أن فن حل المعادلات وأنظمتها نشأت في بابل القديمة ومصر. ومع ذلك، فإن المساواة في شكلها المعتاد بالنسبة لنا ظهرت بعد ظهور علامة المساواة "="، الذي تم عرضه في 1556 من قبل سجل الرياضيات الرياضيات الإنجليزية. بالمناسبة، تم اختيار هذه العلامة لسبب: فهذا يعني شريحتين متساويتين متوازيتين. وصحيح أن أفضل مثال على المساواة لا يمكن تخيله.

مؤسس التسميات الأبجدية الحديثة من مجهول وعلامات درجات هو عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فيت. ومع ذلك، كانت تسمياتها مختلفة إلى حد كبير عن اليوم. على سبيل المثال، تم الإشارة إلى مربع عدد غير معروف حرف Q (اللاتينية "كوادراتوس")، والمكعب من حرف C (اللاتينية "كوبوس"). هذه التسميات تبدو الآن غير مريحة، ولكن بعد ذلك كانت الطريقة الأكثر مفهومة لكتابة أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.

ومع ذلك، فإن العيب في الطرق ثم الحل هو أن علماء الرياضيات تعتبر جذور إيجابية فقط. ولعل هذا يرجع إلى حقيقة أن القيم السلبية لم يكن لها تطبيق عملي. على أي حال، كان علماء الرياضيات الإيطالي نيكولو تارتاجليا، جيرولامو كاردانو ورافائيل بومبيلي في القرن السادس عشر أول من أخذ في الاعتبار الجذور السلبية. شكل حديث، الطريقة الرئيسية لحل المعادلات التربيعية (عن طريق التمييز) تم إنشاؤها فقط في القرن ال 17 بفضل أعمال ديكارت ونيوتن.

في منتصف القرن 18th، وجد عالم الرياضيات السويسري غابرييل كرامر طريقة جديدة لجعل نظم حل المعادلات الخطية أسهل. وقد سميت هذه الطريقة لاحقا بعده وحتى يومنا هذا نستخدمها. ولكننا سنتحدث عن طريقة كرامر بعد ذلك بقليل، ولكننا سنناقش في الوقت الراهن المعادلات الخطية وطرق حلها بشكل منفصل عن النظام.

المعادلات الخطية

المعادلات الخطية هي أبسط المعادلات مع متغير (ق). وهي تصنف على أنها جبرية. تتم كتابة المعادلات الخطية في الشكل العام كما يلي: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b. ويلزم تمثيلها في هذا الشكل من أجل تجميع النظم والمصفوفات كذلك.

نظم المعادلات الجبرية الخطية

تعريف هذا المصطلح هو: هو عبارة عن مجموعة من المعادلات التي لها كميات غير معروفة مشتركة وحل مشترك. وكقاعدة عامة، في المدرسة، تم حل كل شيء عن طريق أنظمة مع اثنين أو حتى ثلاثة المعادلات. ولكن هناك أنظمة مع أربعة أو أكثر من المكونات. دعونا ننظر في الأولى، وكيفية كتابتها حتى أنه في المستقبل كان من السهل حلها. أولا، فإن أنظمة المعادلات الجبرية الخطية تبدو أفضل إذا كانت جميع المتغيرات مكتوبة على أنها x مع المؤشر المقابل: 1،2،3 وهكذا. ثانيا، من الضروري جلب جميع المعادلات إلى الشكل المتعارف عليه: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... _n * x _n = b.

بعد كل هذه الإجراءات، يمكننا أن نبدأ في معرفة كيفية إيجاد حل لأنظمة المعادلات الخطية. كثيرا لهذا نحن بحاجة المصفوفات.

قالب

المصفوفة هي جدول يتكون من الصفوف والأعمدة، وعند تقاطعها هي عناصرها. ويمكن أن يكون ذلك إما قيم أو متغيرات محددة. في معظم الأحيان، للدلالة على العناصر، يتم وضعها تحت النصوص (على سبيل المثال، ₁₁ أو ₂₃ ). المؤشر الأول هو رقم الصف، والثاني هو العمود. أكثر من المصفوفات، وكذلك على أي عنصر رياضي آخر، يمكنك تنفيذ عمليات مختلفة. وهكذا، يمكنك:

1) طرح وإضافة نفس الجداول الحجم.

2) ضرب المصفوفة من قبل عدد أو ناقلات.

3) تبديل: تحويل الصفوف من المصفوفة في الأعمدة، والأعمدة - في خطوط.

4) ضرب المصفوفات إذا كان عدد الصفوف من واحد منهم يساوي عدد الأعمدة من الآخر.

وسوف نناقش كل هذه التقنيات بمزيد من التفصيل، لأنها ستكون مفيدة لنا في المستقبل. الطرح وإضافة المصفوفات هو بسيط جدا. وبما أننا نأخذ مصفوفات من نفس الحجم، فإن كل عنصر من جدول واحد يتوافق مع كل عنصر من العناصر الأخرى. وبالتالي نضيف (طرح) هذين العنصرين (من المهم أن يقفوا على نفس الأماكن في مصفوفاتها). عند ضرب مصفوفة بواسطة عدد أو متجه، يمكنك ببساطة ضرب كل عنصر من المصفوفة بهذا الرقم (أو ناقل). التحول هو عملية مثيرة جدا للاهتمام. انها مثيرة جدا للاهتمام في بعض الأحيان لرؤيتها في الحياة الحقيقية، على سبيل المثال، عند تغيير اتجاه قرص أو الهاتف. الرموز على سطح المكتب هي مصفوفة، وعندما يتغير الموقف، يتم نقله ويصبح أوسع، ولكن تنخفض في الارتفاع.

دعونا تحليل لا تزال هذه العملية، كما ضرب المصفوفات. على الرغم من أنها لا تأتي في متناول اليدين، وسوف يكون لا يزال من المفيد أن نعرف ذلك. مضاعفة اثنين من المصفوفات فقط إذا كان عدد الأعمدة من جدول واحد يساوي عدد الصفوف من الآخر. الآن نحن نأخذ عناصر خط مصفوفة واحدة وعناصر العمود المقابل من الآخر. نضاعفها واحدا تلو الآخر ثم نضيفها (أي، على سبيل المثال، نتاج العناصر ₁₁ و ₁₂ بواسطة b ₁₂ و b ₂₂ هو: ₁₁ * b ₁₂ + a ₁₂ * b ₂₂ ). وبالتالي، يتم الحصول على عنصر واحد من الجدول، ويتم ملء نفس الأسلوب في مزيد من.

الآن يمكننا أن نبدأ في النظر في كيفية حل نظام المعادلات الخطية.

طريقة غاوس

هذا الموضوع يبدأ في المدرسة. ونحن نعرف مفهوم "نظام من المعادلات الخطية اثنين" جيدا ويمكن حلها. ولكن ماذا لو كان عدد المعادلات أكبر من اثنين؟ فإن طريقة غاوس تساعدنا في هذا .

بالطبع، أنها مريحة لاستخدام هذه الطريقة إذا جعلنا مصفوفة من النظام. ولكن لا يمكنك تحويله وحله في شكله النقي.

فكيف يحل نظام معادلات غاوس الخطية هذه الطريقة؟ بالمناسبة، على الرغم من أن يدعى هذا الأسلوب بعده، ولكن تم اكتشافه في العصور القديمة. يقترح جاوس ما يلي: لأداء العمليات مع المعادلات، من أجل أن يؤدي في نهاية المطاف الركام كله إلى شكل تشبه الخطوة. وهذا هو، فمن الضروري أن من أعلى إلى أسفل (إذا رتبت بشكل صحيح) من المعادلة الأولى إلى آخر واحد سوف تنخفض من قبل واحد غير معروف. وبعبارة أخرى، نحن بحاجة لجعله حتى نحصل، على سبيل المثال، ثلاث معادلات: في الأولى - ثلاثة مجهول، في الثانية - اثنان، في الثالثة - واحدة. ثم من المعادلة الأخيرة نجد أول غير معروف، يستبدل قيمته في المعادلة الثانية أو الأولى، ثم نجد المتغيرين المتبقين.

طريقة كرامر

لإتقان هذه الطريقة، فمن الأهمية بمكان لامتلاك مهارات الجمع والطرح من المصفوفات، وأيضا لتكون قادرة على العثور على المحددات. لذلك، إذا كنت تفعل ذلك بشكل سيء أو لا أعرف كيف، سيكون لديك للتعلم والممارسة.

ما هو جوهر هذه الطريقة، وكيفية جعلها بحيث يتم الحصول على نظام معادلات كرامر الخطية؟ انها بسيطة جدا. يجب علينا بناء مصفوفة من المعاملات العددية (تقريبا تقريبا) من نظام المعادلات الجبرية الخطية. للقيام بذلك، مجرد اتخاذ الأرقام أمام المجهول ووضعها في الجدول في الترتيب الذي يتم كتابته في النظام. إذا كان هناك علامة "-" أمام الرقم، ثم اكتب معامل سلبي. لذلك، قمنا بتجميع المصفوفة الأولى من معاملات لمجهول، وليس بما في ذلك الأرقام بعد علامات متساوية (فمن الطبيعي أن يتم تخفيض المعادلة إلى الشكل الكنسي، عندما يحتوي الجانب الأيمن فقط عدد، وإلى اليسار جميع المجهول مع معاملات). ثم نحن بحاجة إلى إنشاء العديد من المصفوفات، واحد لكل متغير. للقيام بذلك، استبدال المصفوفة الأولى في المقابل، كل عمود مع معاملات عمود من الأرقام بعد علامة المساواة. وبالتالي نحصل على عدة مصفوفات ثم نجد محدداتها.

بعد أن وجدنا المحددات، انها شيء صغير. لدينا مصفوفة أولية، وهناك العديد من المصفوفات التي تم الحصول عليها التي تتوافق مع متغيرات مختلفة. للحصول على حلول النظام، نقوم بتقسيم محدد الجدول الذي تم الحصول عليه في محدد الجدول الأولي. الرقم الناتج هو قيمة أحد المتغيرات. وبالمثل، نجد كل المجهول.

أساليب أخرى

وهناك عدة طرق أخرى للحصول على حل لأنظمة المعادلات الخطية. على سبيل المثال، ما يسمى طريقة غاوس الأردن، والذي يستخدم لإيجاد حلول لنظام معادلات من الدرجة الثانية، ويرتبط أيضا إلى استخدام المصفوفات. وهناك أيضا طريقة جاكوبي لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية. هو الأكثر تكيفا لجهاز كمبيوتر ويستخدم في تكنولوجيا الكمبيوتر.

الحالات المعقدة

وينشأ التعقيد عادة إذا كان عدد المعادلات أقل من عدد المتغيرات. ثم يمكننا القول على وجه التحديد إما أن النظام غير متناسقة (أي أنه ليس له جذور) أو عدد حلوله يميل إلى ما لا نهاية. إذا كان لدينا الحالة الثانية، ثم نحن بحاجة إلى كتابة الحل العام للنظام المعادلات الخطية. وسوف تحتوي على متغير واحد على الأقل.

استنتاج

لذلك وصلنا إلى النهاية. دعونا نلخص: لقد قمنا بتحليل ما هو نظام والمصفوفة، وتعلمنا كيفية العثور على الحل العام لنظام المعادلات الخطية. وبالإضافة إلى ذلك، فقد نظرنا في خيارات أخرى. لقد اكتشفنا كيف يتم حل نظام المعادلات الخطية: طريقة غاوس وطريقة كرامر. تحدثنا عن حالات معقدة وطرق أخرى لإيجاد الحلول.

في الواقع، هذا الموضوع هو أكثر اتساعا بكثير، وإذا كنت ترغب في فهم أفضل لذلك، فإننا نوصي قراءة الأدب أكثر تخصصا.